大学 物理 物理数学1 複素関数

グルサの定理 証明【複素関数】

今回はグルサの定理について解説していきます。

証明ではコーシーの積分公式を使用します。コーシーの積分公式はこちらの記事で詳しく解説しています。

グルサの定理

$$複素関数f\left(z\right)が単純閉曲線Cとその内部で正則なとき、$$

$$f\left(z\right)はCの内部でn階微分可能であり、$$

$$f^{(n)}\left(z\right)も正則である。$$

$$f^{(n)}\left(z\right)は、f\left(z\right)のn階微分を表します。$$

$$また、C内部の任意の点z_0について、$$

$$f^{(n)}\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz\enspace\enspace\enspace\enspace(n=1, 2, 3, ・・・)$$

$$\displaystyle\left(\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}\left(z_0\right)\enspace\enspace\enspace\enspace(n=1, 2, 3, ・・・)\right)$$

$$が成り立つ。$$

微分を求めたら積分が求まるというすごい定理ですね。

グルサの定理 証明

$$十分小さなΔzに対して次の式を考えます。$$

$$\frac{f\left(z_0+Δz\right)-f\left(z_0\right)}{Δz}$$

$$これはΔz\to 0にしたら、完全にf'\left(z_0\right)ですね。$$

$$この式を変形していきましょう。$$

$$\frac{f\left(z_0+Δz\right)-f\left(z_0\right)}{Δz}=\frac{f\left(z_0+Δz\right)}{Δz}-\frac{f\left(z_0\right)}{Δz}・・・①$$

ここで、コーシーの積分公式

$$f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz$$

より、

$$f\left(z_0+Δz\right)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{z-\left(z_0+Δz\right)}dz$$

$$f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz$$

$$と変形できるので、$$

$$①は、$$

$$\frac{f\left(z_0+Δz\right)}{Δz}-\frac{f\left(z_0\right)}{Δz}$$

$$=\frac{1}{2\pi iΔz}\displaystyle\oint_C\left(\frac{f\left(z\right)}{z-z_0-Δz}-\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}\right)$$

$$=\frac{1}{2\pi iΔz}\displaystyle\oint_C\frac{\left(z-z_0\right)f\left(z\right)-\left(z-z_0-Δz\right)f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)}dz$$

$$=\frac{1}{2\pi iΔz}\displaystyle\oint_C\frac{\left(z-z_0\right)f\left(z\right)-\left(z-z_0\right)f\left(z\right)+Δzf\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)}dz$$

$$=\frac{1}{2\pi iΔz}\displaystyle\oint_C\frac{Δzf\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)}$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)}$$

$$ここで、図のように、$$

$$経路Cはz=z_0を中心とする半径dの円とおきます。$$

$$また、Iを次のように定義します。$$

$$I=\frac{f\left(z_0+Δz\right)-f\left(z_0\right)}{Δz}-\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^2}dz・・・②$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)}-\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^2}dz$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{\left(z-z_0\right)f\left(z\right)-\left(z-z_0-Δz\right)f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)^2}dz$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{\left(z-z_0\right)f\left(z\right)-\left(z-z_0\right)f\left(z\right)+Δzf\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)^2}dz$$

$$=\frac{Δz}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)^2}$$

$$ここで、Iが0となることを示せれば、$$

$$②より、グルサの公式が証明できそうです。$$

$$Iの絶対値を見てましょう。$$

$$|I|=\displaystyle\left\|\frac{Δz}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0-Δz\right)\left(z-z_0\right)^2}dz\right\|$$

$$≦\frac{|Δz|}{2\pi}\displaystyle\oint_C\frac{|f\left(z\right)|}{|z-z_0-Δz||z-z_0|^2}|dz|・・・③$$

$$ここで、$$

$$経路Cはz=z_0を中心とする半径dの円なので、$$

$$z=z_0+de^{iθ}、dz=die^{iθ}とできますね。$$

$$また、半径dの円なので、$$

$$|z-z_0|=d・・・➃$$

$$また、|f\left(z\right)|について、$$

$$f\left(z\right)の取りうる最大値をMとおくと、$$

$$|f\left(z\right)|≦M・・・⑤$$

$$ですね。➃、⑤より、③をさらに評価していきます。$$

$$\frac{|Δz|}{2\pi}\displaystyle\oint_C\frac{|f\left(z\right)|}{|z-z_0-Δz||z-z_0|^2}|dz|$$

$$≦\frac{|Δz|}{2\pi}\displaystyle\oint_C\frac{M}{\left(d-Δz\right)d^2}d dθ$$

$$=\frac{|Δz|}{2\pi}\displaystyle\frac{M}{\left(d-Δz\right)d}2\pi$$

$$=\displaystyle\frac{M}{\left(d-|Δz|\right)d}|Δz|$$

$$Iがいい感じにまとまりました。$$

$$ここで、Δz\to 0とすると、I\to 0となりますね。$$

$$よって、②より、$$

$$f'\left(z\right)=\displaystyle\lim_{Δz\to 0}\frac{f\left(z_0+Δz\right)-f\left(z_0\right)}{Δz}$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_0\right)^2}dz$$

$$となり、グルサの定理のn=1の時が証明できました。$$

$$n≧2の時も同様に証明することができます。$$

まとめ

ここまでご覧いただきありがとうございます。

次回は、複素数の級数について解説します。

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