大学 物理 物理数学1 複素関数

複素関数の極限、連続性、導関数【複素関数】

今回は、複素関数の極限、連続性、導関数について解説していきます。

まず、複素関数の極限を定義し、それを利用して、複素平面における複素関数の連続性と導関数を定義していきます。

複素関数の極限

まず複素関数の極限について定義していきます。

実関数での極限は、数直線上のある値に近づくことを言いましたが、複素関数では、

複素平面上のある値に近づく極限を考えます。

つまり、複素平面上で、その値にあらゆる方向から近づくということですね。

$$定義$$

$$複素数 z\to z_0のとき、複素関数 f\left(z\right)\to ω_0であるとき、$$

$$\lim_{z\to z_0}f\left(z\right)=ω_0$$

$$と書く。ここで、ω_0は複素関数f\left(z\right)の極限値という。$$

ここで再度注目したいのは、複素関数の極限は、方向によらないということですね。

$$あらゆる方向から極限に近づくということです。$$

複素関数の連続性

上では、複素関数の極限を定義しました。

次に、複素関数の連続性を定義してみましょう。

$$定義$$

$$複素関数f\left(z\right)が、$$
$$\lim_{z\to z_0}f\left(z\right)=f\left(z_0\right)$$
$$であるとき、関数f\left(z\right)は、点z_0で連続であるという。$$

$$この定義の\lim_{z\to z_0}f\left(z\right)=f\left(z_0\right)は、$$

$$「f\left(z\right)という関数が、極限でz\to z_0に近づくとき、その値は、$$

$$f\left(z\right)にz=z_0を代入した値と一致するよ!」という意味ですね。$$

複素関数の導関数

複素関数の極限と連続性を定義できたので、導関数についても考えられそうです。

$$定義$$

$$複素関数f\left(z\right)について、以下の極限を考える。$$

$$f'\left(z_0\right)=\lim_{z\to z_0}\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}=\lim_{Δz\to 0}\frac{f\left(z_0+Δz\right)-f\left(z_0\right)}{Δz}$$

$$この値が存在するとき、これを複素関数f\left(z\right)の導関数という。$$

極限のところで説明したように、ここでも極限の近づき方は、方向によらず、複素平面上であらゆる方向から近づくことを意味します。

$$実関数の極限で、「xが+(プラス)から0に近づくとき」と$$

$$「xがー(マイナス)から0に近づくとき」を考えたのを覚えているでしょうか。$$

実関数では、この二つの極限の値が異なるとき、導関数は存在しない(その点で微分はできない)ということでしたね。

ここで、複素関数では、極限はあらゆる方向から近づく(方向に依存しない)ということでした。

つまり、言い換えれば、

$$複素関数の極限値が方向に依存するとき、導関数は存在しない$$

ということですね。

$$では、例として、f\left(z\right)=z^2の導関数を計算してみましょう。$$

$$f'\left(z\right)=\lim_{Δz\to 0}\frac{\left(z+Δz\right)^2-z^2}{Δz}$$

$$=\lim_{Δz\to 0}\frac{z^2+2zΔz+\left(Δz\right)^2-z^2}{Δz}$$

$$=2z$$

となります。

$$\left(Δz\right)^2=0として計算しています。$$

$$Δzはもともと微小な値として扱っていますから、その2乗ですから、無視してしまっても大丈夫でしょう。$$

$$(0.001)^2=0.000001みたいな。これは0です。$$

上の例からわかるように、複素関数の導関数は、実関数の導関数と同じように計算することができます。

まとめ

今回は、複素関数の極限、連続性、導関数について解説しました。

今回は定義の話ばかりだったので、あまり、詳しくお話しすることができませんでしたが、「こういうものなんだ」と考えていただければ、今はいいと思います。

また、導関数については、定義だけで、「ではどういったときに微分可能なのか」という点には触れていません。

このテーマはとても大事で、次回にお話しする「コーシー・リーマンの方程式」で詳しくお話しします。

ここまでご覧いただきありがとうございました!

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