大学 物理 物理数学1 複素関数

コーシーの積分公式 周回積分公式 証明【複素関数】

前回は「コーシーの積分定理」について解説しました。

ちょっとだけ前回の復習をしますと、

$$単純閉曲線Cの内部において、複素関数f\left(z\right)が正則な時、Cに対する線積分は、0になる$$

ということでした。

では、Cの内部に特異点があったらどうなるのでしょうか。

そこで今回は特異点を有限個含む領域における線積分について解説していきます。

コーシーの積分公式

$$複素関数f\left(z\right)が、単純閉曲線Cとその内部Dで正則である時、D内の任意の点αについて、$$

$$ \displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{z-α}dz =2\pi if\left(α\right)$$

$$が成り立つ。$$

周回積分公式

コーシーの積分公式を証明する前に、証明で必要になる「周回積分公式」を導いていきます。

$$周回積分公式$$

$$単純閉曲線Cとその内部で、複素関数f\left(z\right)が点α以外で正則であるとき、$$

$$\displaystyle \oint_C \frac{1}{z-α}dz =2\pi i$$

$$が成り立つ。$$

$$証明$$

$$複素関数f\left(z\right)=\frac{1}{\left(z-α\right)^n}を考える。nは整数である。$$

$$ここで、z=αを中心とする半径Rの円周上の経路Cを一周する線積分を考える。$$

$$\displaystyle\int_C\left(z-α\right)^ndz・・・①$$

$$z=α+Re^{iθ}\left(0\text{≦}θ\text{≦}2\pi\right)とおくと、dz=Rie^{iθ}dθとできるので、①に代入すると$$

$$\displaystyle\int_C\left(z-α\right)^ndz=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(α+Re^{iθ}-α\right)^n・Rie^{iθ}dθ$$

$$=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}R^ne^{inθ}・Rie^{iθ}dθ$$

$$=iR^{n+1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n+1\right)θ}dθ・・・②$$

$$ここで、②の積分を\displaystyle\begin{cases}(i)n=-1 \\ (ii)n≠-1 \end{cases}と場合分けをし、それぞれ求めていく。$$

(i)n=-1の時、

$$②より、$$

$$iR^{n+1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n+1\right)θ}dθ=i\displaystyle\int_{0}^{2\pi}dθ=2\pi i$$

(ii)n≠-1の時、

$$②より、$$
$$iR^{n+1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n+1\right)θ}dθ=iR^{n+1}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left\{cos\left(n+1\right)θ+isin\left(n+1\right)θ\right\}dθ$$

$$=iR^{n+1}\displaystyle\left[\frac{1}{n+1}sin\left(n+1\right)θ-\frac{i}{n+1}cos\left(n+1\right)θ\right]$$

$$=\frac{iR^{n+1}}{n+1}\left\{\left(0-i\right)-\left(0-i\right)\right\}=0$$

$$よって、(i)、(ii)より、$$

$$\displaystyle\int_C\left(z-α\right)^ndz=\displaystyle\begin{cases}2\pi i\left(n=-1\right) \\ 0\left(n≠-1\right) \end{cases}$$

$$となりました。周回積分の公式の証明としては、(i)のみで十分なのですが、参考として(ii)n≠-1の場合も求めました。$$

それでは、コーシーの積分公式の証明をしてみましょう。

コーシーの積分公式の証明

$$証明$$

$$コーシーの積分公式の左辺について、$$

$$\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)}{z-α}dz=\displaystyle \oint_C \frac{\left\{f\left(z\right)-f\left(α\right)\right\}+f\left(α\right)}{z-α}dz$$

$$=\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz+f\left(α\right)\displaystyle \oint_C \frac{1}{z-α}dz$$

$$=\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz+2\pi if\left(α\right)・・・③$$

$$2項目は、周回積分公式により、2\pi if\left(α\right)としました。$$

$$2項目は、コーシーの積分公式の右辺ですね。$$

$$では、③の1項目が0となることを示しましょう。$$

$$ここで、f\left(z\right)はC内で正則なので、z=z_0においても連続であることがわかります。$$

$$よって、ε-δ論法より、任意の正数εに対して、ある正の実数δを選ぶと、$$

$$|z-α|<δとなる全てのzに対して、$$

$$|f\left(z\right)-f\left(z_0\right)|<ε$$

$$が成り立ちます。$$

$$また\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dzを、コーシーの積分定理を用いて経路C_0に変更しましょう。$$

$$\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz=\displaystyle \oint_{C_0} \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz$$

$$ここで、経路C_0は、z=z_0を中心とする半径Rの円を正の向きに回る単純閉曲線です。$$

$$よって、z=z_0+Re^{iθ}とおくと、dz=Rie^{iθ}とできるので、$$

$$\displaystyle \oint_{C_0} \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dzの絶対値を評価すると、$$

$$|\displaystyle \oint_{C_0} \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz|≦\displaystyle \oint_{C_0} \frac{|f\left(z\right)-f\left(α\right)|}{|{z-α}|}|dz|$$

$$=\displaystyle \oint_{0}^{2\pi} \frac{|f\left(z\right)-f\left(α\right)|}{|Rr^{iθ}|}|Rie^{iθ}|dθ$$

$$≦\displaystyle \oint_{C0}^{2\pi} \frac{ε}{R}Rdθ=2\pi ε$$

$$とできました。また、f\left(z\right)はz=z_0で連続なので、ε\to 0とできます。$$

$$したがって、$$

$$\displaystyle \oint_C \frac{f\left(z\right)-f\left(α\right)}{z-α}dz=0$$

$$とできました。これで証明完了です。$$

まとめ

今回は、コーシーの積分公式と周回積分公式について解説しました。

次回は、グルサの定理について解説していきます。

ここまでご覧いただきありがとうございました!

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