今回はジョルダンの不等式について解説します。
この不等式は三角関数を含む定積分を求める際に便利な場合があります。
目次
ジョルダンの不等式
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-rsinθ}dθ < \displaystyle\frac{\pi}{r}\enspace\enspace\enspace\enspace\left(r > 0\right)$$
$$証明$$
$$まず、y=sinxと直線y=\left(\frac{2}{\pi}\right)x$$
$$のグラフを見てみます。$$
$$図より、\displaystyle{0 ≦ θ ≦ \frac{\pi}{2}}の範囲では、$$
$$sinx ≧ \frac{2x}{\pi}$$
が成り立ちます。
$$また、r > 0なので、両辺に掛けて$$
$$rsinx ≧ \frac{2rx}{\pi}$$
$$-rsinx ≦ -\frac{2rx}{\pi}$$
とできます。
$$ここで、\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ}dθの積分を変形しましょう。$$
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ}dθ ≦ \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{2rθ}{\pi}}dθ$$
$$=\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-r}\right) < \frac{\pi}{2r}・・・①$$
$$また、\frac{\pi}{2} ≦ θ ≦ \pi の範囲の積分$$
$$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}e^{-rsinθ}dθについて見てみます。$$
$$θ=\pi - θ'とおくと、$$
$$\frac{\pi}{2} ≦ θ ≦ \pi$$
$$\to -\frac{\pi}{2} ≦ -θ' ≦ 0$$
$$\to 0 ≦ θ' ≦ \frac{\pi}{2}$$
と範囲を変形できます。
$$θ=\pi - θ'を\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}e^{-rsinθ}dθに代入しましょう。$$
$$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}e^{-rsinθ}dθ=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}e^{-rsin\left(\pi-θ'\right)}d\left(-θ'\right)$$
$$=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ'}dθ'$$
とできました。
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ'}dθ'も①と同じように変形すると、$$
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ'}dθ' < \frac{\pi}{2r}$$
$$とできますね。また、$$
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-rsinθ}dθ=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ}dθ+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-rsinθ'}dθ'$$
$$なので$$
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-rsinθ}dθ < \frac{\pi}{r}となり、$$
$$ジョルダンの不等式が証明できました。$$
例題（ジョルダンの不等式を利用する積分）
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xsinx}{x^2+1}dxの積分の値を求めます。$$
$$ここでオイラーの公式e^{iz}=cosz+isinzより、$$
$$f\left(z\right)=\frac{ze^{iz}}{z^2+1}の複素関数を考えると都合が良さそうです。$$
$$f\left(z\right)=\frac{ze^{iz}}{z^2+1}の複素関数について、$$
$$図のような半径rの上半円の経路C_rと、$$
$$実軸上の-r < x < rの経路から成る$$
$$単純閉曲線Cでの積分を考えます。$$
$$\displaystyle\int_C f\left(z\right)dz=\displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz+\displaystyle\int_{-r}^{r}f\left(z\right)dz・・・②$$
と積分を分けることができますね。
左辺は留数定理ですぐに求められそうです。
$$f\left(z\right)=\frac{ze^{iz}}{z^2+1}=\frac{ze^{iz}}{(z+i)(z-i)}なので、$$
$$特異点は、z=i、-iですね。$$
$$しかし、z=-iは、$$
$$単純閉曲線Cの領域の外にあるので、$$
$$単純閉曲線C内の複素関数f(z)の特異点は、$$
$$z=iのみです。$$
$$z=iの留数は、$$
$$Res_{z=i}f(z)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)$$
$$=\lim_{z\to i}\frac{ze^{iz}}{z+i}=\frac{1}{2e}$$
とできます。
よって、留数定理より
$$\displaystyle\int_C f\left(z\right)dz=2\pi iRes_{z=i}f(z)=\frac{\pi}{e}i$$
と求められました。
$$次は、経路C_rの線積分を求めましょう。$$
$$z=re^{iθ}とおけるので、$$
$$\displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz=\displaystyle\int_{C_r} \frac{ze^{iz}}{z^2+1}dz$$
$$=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{re^{iθ}e^{ire^{iθ}}}{r^2e^{2iθ}+1}ire^{iθ}dθ・・・③$$
$$ここで、$$
③の積分の絶対値を評価して行きますが、その前に、$$
$$\displaystyle\left|e^{ire^{iθ}}\right|の絶対値を求めておきます。$$
$$e^{ire^{iθ}}=e^{ir(cosθ+isinθ)}=e^{ircosθ-rsinθ}=e^{ircosθ}e^{-rsinθ}$$
$$なので、$$
$$\displaystyle\left|e^{ire^{iθ}}\right|=\displaystyle\left|e^{ircosθ}e^{-rsinθ}\right|=e^{-rsinθ}・・・➃$$
$$とできます。
$$\displaystyle\left|e^{ircosθ}\right|=1となったのは、$$
$$\displaystyle\left|e^{ircosθ}\right|=\displaystyle\left|cos(rcosθ)+isin(rcosθ)\right|$$
$$=\sqrt{cos^2(rcosθ)+sin^2(rcosθ)}=1$$
$$ということですね。$$
$$では、③の積分の絶対値を評価して行きましょう。$$
$$\displaystyle\left| \displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz \right|=\displaystyle\left| \displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{re^{iθ}e^{ire^{iθ}}}{r^2e^{2iθ}+1}ire^{iθ}dθ \right|$$
$$≦\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{|re^{iθ}e^{ire^{iθ}}|}{|r^2e^{2iθ}+1|}|ire^{iθ}|dθ$$
$$=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{re^{-rsinθ}}{r^2+1}rdθ\enspace\enspace\enspace\enspace（➃より）$$
$$≦\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{re^{-rsinθ}}{r^2-1}rdθ$$
$$=\displaystyle\frac{r^2}{r^2-1}\int_{0}^{\pi}e^{-rsinθ}dθ$$
ここで、ジョルダンの不等式より、
$$< \displaystyle\frac{r^2}{r^2-1}\frac{\pi}{r}=\frac{r}{r^2-1}\pi$$
$$よって、$$
$$\displaystyle\left| \displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz \right| < \frac{r}{r^2-1}\piであることがわかりました。$$
$$ここで、rをでかくしてみましょう。$$
$$\lim_{r\to \infty}\displaystyle\left| \displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz \right| < \lim_{r\to \infty}\frac{r\pi}{r^2-1}=0・・・⑤$$
となりました。
$$ここで②より、$$
$$\displaystyle\int_C f\left(z\right)dz=\displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz+\displaystyle\int_{-r}^{r}f\left(z\right)dz$$
$$\to \frac{\pi}{e}i = \displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz+\displaystyle\int_{-r}^{r}f\left(z\right)dz$$
$$（両辺 r\to \infty）$$
$$\to \frac{\pi}{e}i = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f\left(z\right)dz$$
$$（⑤より、\lim_{r\to \infty}\displaystyle\left| \displaystyle\int_{C_r} f\left(z\right)dz \right|=0）$$
$$\to \frac{\pi}{e}i = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ze^{iz}}{z^2+1} dz$$
$$\to \frac{\pi}{e}i=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z(cosz+isinz)}{z^2+1} dz$$
$$\to \frac{\pi}{e}i=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{zcosz}{z^2+1} dz+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{zsinz}{z^2+1} dz$$
両辺の虚部を取ると、
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{zsinz}{z^2+1} dz=\frac{\pi}{e}$$
よって、
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xsinx}{x^2+1} dx=\frac{\pi}{e}$$
とできて、求められました。
まとめ
ここまでご覧いただきありがとうございます!