今回は、複素関数でもっとも大事な概念の一つの正則性について解説していきます。
目次
複素関数が正則であるとは
$$定義$$
$$複素関数f\left(z\right)が正則であるとは、$$
$$複素平面上の点z_0と「近傍」において、f\left(z\right)が複素関数として微分可能であることを言います。$$
$$また、微分可能な点を正則点といい、正則点以外の点を特異点と言います。$$
$$任意の関数f\left(z\right)は、正則点と特異点から成ります。$$
前回は「コーシー・リーマンの方程式と微分可能性」についてお話ししました。
そこでは、コーシー・リーマンの方程式を満たせば、その複素関数は、微分可能であると言えるのでしたね。
つまり、複素関数が正則であるかどうかを調べるには、コーシー・リーマンの方程式を満たすかどうかを調べれば良いのです。
$$（例）f\left(z\right)=\frac{1}{z}の正則性を求めよ。$$
$$z=x+iyとおくと、$$
$$f\left(z\right)=\frac{1}{x+iy}$$
$$=\frac{1}{x+iy}\frac{x-iy}{x-iy}$$
$$=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$
$$=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$
$$ここで、f\left(z\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right)とすると、$$
$$u\left(x, y\right)=\frac{x}{x^2+y^2}、 v\left(x, y\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}$$
$$とできますね。これをコーシー・リーマンの方程式$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \enspace\enspace \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
$$を満たせば微分可能と言えます。$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}、\frac{\partial v}{\partial y}、\frac{\partial u}{\partial y}、\frac{\partial v}{\partial x}をそれぞれ計算してみます。$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\left(x^2+y^2\right)-x・2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$$
$$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{x^2+y^2-y・2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-x・2y}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{-2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{-\left(-y\right)・2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}$$
$$上の4式は、コーシー・リーマンの方程式を満たしている。$$
$$また、z=0の時は、f\left(z\right)=\frac{1}{z}=\inftyとなり、定義できないため、$$
$$z=0の時は、特異点です。$$
$$よって、f\left(z\right)=\frac{1}{z}は、z≠0で、正則であると言えます。$$
微分可能だけど、正則ではない
ここで、「複素関数が正則であること」の定義を思い出して欲しいのですが、『複素平面上の点z_0とその近傍において』と書かれていました。
近傍・・・？
これは、「その点で微分可能だけど、その点では正則ではないよ」という時のパターンについて語っています。
例を見てみましょう。
$$例$$
$$f\left(z\right)=x^3+iy^3$$
$$f\left(z\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right)とすると、$$
$$u\left(x, y\right)=x^3、v\left(x, y\right)=y^3とできます。$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}、\frac{\partial v}{\partial y}、\frac{\partial u}{\partial y}、\frac{\partial v}{\partial x}をそれぞれ計算してみます。$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2$$
$$\frac{\partial v}{\partial y}=3y^2$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=0$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}=0$$
となりました。
$$ここで、z=0つまり、\left(x, y\right)=\left(0, 0\right)を代入してみましょう。$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0, \enspace\enspace \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=0$$
$$となり、コーシー・リーマンの方程式を満たしました。$$
$$つまり、f\left(z\right)=x^3+iy^3は、z=0の点で微分可能です。$$
$$しかし、z=0以外の点では、どう見てもコーシー・リーマンの方程式は満たしません。$$
$$つまり、f\left(z\right)=x^3+iy^3はz≠0の点で微分不可です。$$
$$よって、f\left(z\right)は、z=0の点で微分可能だが、$$
$$その近傍では微分可能ではないため、z=0で正則ではない。$$
$$\bar{z}を含む複素関数$$
$$ここで、\bar{z}（「zバー」：複素数zの共役です）を含む複素関数の正則性について考えます。$$
$$結論から言ってしまえば、\bar{z}を含む複素関数は正則ではありません。$$
$$定理$$
$$ある領域で正則な多項式f\left(z, \bar{z}\right)はzのみの多項式に限られる。$$
$$証明$$
$$z=x+iy、\bar{z}=x-iyとおくと、$$
$$f\left(z, \bar{z}\right)=u\left(x, y\right)+iv\left(x, y\right)と一般的に表すことができます。$$
$$また、z=x+iy、\bar{z}=x-iyより、x=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)、y=\frac{1}{2i}i\left(z-\bar{z}\right)と書けるので、$$
$$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)、\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)とできます。$$
$$（\frac{\partial}{\partial z}と\frac{\partial}{\partial \bar{z}}の式の求め方は、下の「補足」で解説します。）$$
$$ここで、\frac{\partial}{\partial \bar{z}}f\left(z, \bar{z}\right)を計算します。$$
$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}}f\left(z, \bar{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(u+iv\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$
$$ここで、f\left(z, \bar{z}\right)は、「ある領域で正則な多項式」とあるので、$$
$$f\left(z, \bar{z}\right)はコーシー・リーマンの方程式を満たします。$$
$$つまり、\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0となります。$$
$$よって、$$
$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}}f\left(z, \bar{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0$$
$$上の結果は、「形上では、f\left(z, \bar{z}\right)を\bar{z}で偏微分すると、0になる」ということですね。$$
$$つまり、f\left(z, \bar{z}\right)に\bar{z}は含まないことがわかりました。$$
$$よって、ある領域で正則な複素関数はzのみの関数であることが証明されました。$$
補足
$$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)、\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)の求め方$$
$$z=x+iy、\bar{z}=x-iyとした時、x=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)、y=\frac{1}{2i}i\left(z-\bar{z}\right)と書けます。これは変形しただけですね。$$
$$ここで、x=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)、y=\frac{1}{2i}i\left(z-\bar{z}\right)の微小な量を考えると、$$
$$dx=\frac{1}{2}\left(dz+d\bar{z}\right)、dy=\frac{1}{2i}i\left(dz-d\bar{z}\right)$$
$$とできます。$$
$$ここで、f\left(x, y\right)の全微分は、$$
$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
$$と書けるので、これにdx、dyを代入すると、$$
$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{1}{2}\left(dz+d\bar{z}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{1}{2i}i\left(dz-d\bar{z}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)dz+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)d\bar{z}・・・①$$
$$（展開して、\frac{1}{i}=-iとして整理しました。）$$
$$また、fをz、\bar{z}を変数として全微分した形は、$$
$$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}と形式的に書けるので、①と比較して、$$
$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)、\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$
$$と書けます。よって、上の式からfを無くしてあげると、$$
$$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)、\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)$$
$$が出てきます。$$
まとめ
今回は、複素関数の正則性について解説しました。
今後も複素関数について何かを語るときは、この正則性は必ず必要となりますので、ぜひ覚えてください。
次回は、「コーシーの積分定理」について解説します。
ここまでご覧いただきありがとうございます！